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other と another を直訳すると『他の』と同じ意味になりますが、若干ニュアンスが異なります。
さらに、other は others、the other、the others という使い方があり、それぞれ使うシチュエーションが異なります。
簡単にまとめると
another：もう１つ（選択肢が複数）
the other：もう１つ（選択肢が残り１つ）
others：他の
the others：他のすべて
ちょっとわかりにくいと思うのでそれぞれ例文を比較しながら違いを説明します。
１．anotherとthe otherの違い
２．othersとthe othersの違い
３．まとめ
another と the otherの違い
another
another は an + other が１つになった単語です。an は『ある１つのもの』そしてother は『他の』なので、『（いくつかあるうちの）もう１つ』という意味になります。
１つのものを指しているのでanotherの後に名詞を続ける際には、単数形となります。（名詞は省略する事もできます）
例えば、腕時計を買いにデパートに行ったとき、最初に見たものが気に入らないときに『他の腕時計をもう１つ見せてもらえますか？』と言うには
Could you show me another watch?
複数の腕時計の中から、他の１つを見せてほしいと言っているので another を使います。
the other
the other は an では無く、限定や特定を示す the が使われています。そして単数形の other 『他の』が続いているので『（限定した２つのうち）もう１つ』という意味になります。
the other は１つのものを指しているので、後に名詞を続ける際には、単数形となります。（名詞は省略する事もできます）
例えば、腕時計を買いに行ったとき、店員に２つのものを勧められて、１つを見た後に『もう１つの腕時計を見せてもらえますか』というときには、
Could you show me the other watch?
２つ提示されたもののうち、別の１つと言っているので the other を使います。
others と the othersの違い
others
others は、another や the other と違い複数形となっています。そして 特定するthe がついていないので『（他にあるうちの）いくつか』という意味になります。
others をそのまま使う場合には、後ろに名詞は付きません。名詞を続ける場合には other + 複数名詞 となります。
例えば、時計を買いに行ったときに、最初に見たものが気に入らず『他の時計を見せてもらえますか』と言うには、
Could you show me others (other watches)?
the others
the others には、特定する the がついていて、意味は 『他に残っているものすべて』となります。
the others をそのまま使う場合には、後ろに名詞は付きません。名詞を続けたい場合には the other + 複数名詞 となります。
例えば、腕時計を買いに行ったとき『他の時計をすべて見せてもらえますか』と言うには、
Could you show me the others (the other watches)?
まとめ
another と other(s) の使い分けを簡単にまとめます
選択肢が複数ある場合に、もう１つと言うには another
選択肢が２つの場合に、もう１つと言うには the other + 単数名詞
選択肢が複数ある場合に、他のいくつかと言うにはothers (other + 複数名詞)
選択肢が複数ある場合に、他の全てと言う場合には the others (the other + 複数名詞)
もしかすると説明を聞いただけでは、分かりにくいかもしれませんが、例文を作ってみると理解しやすいと思います。
ワイシャツを買いに行ったとき、パソコンを買いに行ったとき、普段の生活で使いそうな場面を想像しながら例文を作ると理解が深まると思います。ぜひ試してみてください。
